Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập

Minh Vũ 8 giờ trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 12. Đây là một trong những phần kiến thức cơ bản có nhiều trong các đề thi quan trọng Bài viết hôm nay, Zicxabooks.com sẽ mách bạn cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập thường gặp. Các em cùng tìm hiểu nhé !

I. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x0). (x – x0) + y0

1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M(x0; y0) làm tiếp điểm).

Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C)

(hoặc tại h x = x0 ) có dạng: y =f’(x0).(x – x0) + y0.

2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (xA, yA) cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(xA, yA)).

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x).(x – x0) + y0 (d).

Điểm A(xA, yA) ∈ d, ta được: yA = f’(x0). (x– x0) + y0 => x0

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0;y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f’(x0).(x – x0) + y0.

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:

f’(x0) = k => x0, thay vào hàm số ta được y0 = f(x0).

Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f’(x0). (x – x0) + y0.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) có hệ số góc k có dạng;

d:y = g’(x) = k.(x – x0) + y0.

Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm: 


Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) tại M0 (x0; y0)

Phương pháp giải:

Bước 1. Tính y' = f' (x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y' (x0).

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 (x0; y0) có dạng

y - y0 = f'(x0)(x - x0)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x3 + 3x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4).

Hướng dẫn

Ta có y' = 3x2 + 6x; y'(1) = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4) là:

y = 9(x - 1) + 4 = 9x - 5

Ví dụ 2:

Cho hàm số y= x3- 2x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1 )

A. y= 2x+ 3         B. y= -2x + 1         C.y= 4x+1         D. y= - 4x+1

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 3x2- 2

⇒ y'(0)= -2

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1) là:

y- 1= -2(x-0) hay y= -2x + 1

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho hàm số y= x2 + 2x - 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1?

A. y= 2x+1         B. y= - 6x+ 1         C. y= 4x- 7         D. y= 3x-

Hướng dẫn giải

+ Ta có: y(1) = 12+ 2.1 – 6= -3

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’(x)= 2x+ 2

⇒ y’(1) = 2.1+ 2= 4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x= 1 là:

y+ 3= 4( x- 1) hay y= 4x- 7

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số y= x3 + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2?

A. y= 4x+ 2         B. y = - 2x+ 1         C. y= 3x+ 1         D. y= 6x+ 1

Hướng dẫn giải

+ Xét phương trình: x3+ 4x+ 2= 2

⇔ x3+ 4x = 0 ⇔x= 0

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 4

⇒ y’( 0) = 4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2:

y- 2= 4( x – 0) hay y= 4x+ 2

Chọn A.

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp

Bước 1. Gọi M0 (x0; y0) là tiếp điểm và tính y' = f' (x).

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f' (x0). . Giải phương trình này tìm được x0 thay vào hàm số được y0.

Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng

d: y - y0 = f' (x0)(x - x0)

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b(a ≠ 0)⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tan⁡α

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = 4x3 - 6x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).

Hướng dẫn

Ta có y' = 12x2 - 12x

Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:

y = (12x02 - 12x0> )(x - x0 ) + 4x03 - 6x02 + 1

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9) nên ta có:

-9 = (12x02 - 12x0 )( -1 - x0 ) + 4x03 - 6x03 + 1

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 (x - 5/4) - 9/16 = 15/4 x - 21/4

Với x0 = -1 thì Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24(x + 1) - 9 = 24x + 15

Ví dụ 2. Cho hàm số y= - x3 + 2x2+ 2x+1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A?

A. y= - 2x+ 1         B. y= 3x- 2         C. y= 4x+ 1         D. y= 2x+ 1

Hướng dẫn giải

+ Do A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung nên tọa độ điểm A( 0; 1) .

+ Đạo hàm y’= - 3x2+ 4x + 2

⇒ y’( 0) = 2

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:

y- 1= 2( x- 0) hay y= 2x+ 1

chọn D.

Ví dụ 3. Cho hàm số y= x2- 3x+ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành ?

A. y= -x+ 1 và y= x - 2         B. y= x+ 1 và y= - x+ 3

C. y= - 2x + 1 và y= x- 2         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm phương trình :

x2- 3x+2 = 0

Vậy đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm là A( 1; 0) và B( 2; 0).

+ Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 2x- 3

+ Tại điểm A( 1; 0) ta có: y’( 1)= - 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là:

y- 0= -1( x-1) hay y= - x+ 1

+ tại điểm B( 2; 0) ta có y’( 2)= 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B là :

y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: y= -x+ 1 và y= x- 2

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng d1: 2x+ y- 3= 0 và d2: x+ y – 2= 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y= x2+ 4x+ 1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.

A. y= 3x- 5         B.y= 6x+ 1         C. y= 6x – 5         D. y= 2x+ 1

Hướng dẫn giải

+ Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm - Toán lớp 11

Vậy hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A( 1; 1).

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 2x+ 4

⇒ y’( 1) = 6.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm A( 1; 1) là:

y-1= 6( x- 1) hay y= 6x- 5

Chọn C.

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA)

Phương pháp

Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA) hệ số góc k có dạng

d:y = k(x - xA ) + yA (*)

Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.

Bước 1. Gọi M(x0; f(x0 )) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến

k = y'(x0 ) = f' (x0) theo x0

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'(x0 )(x - x0 ) + y0 (**). Do điểm A(xA; yA) ∈ d nên yA = y'(x0 )(xA - x0 ) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0 .

Bước 3. Thế x0 vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0

Hướng dẫn

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = 3/(x + 2)2 .

Phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 hay Δ:y = 3x + 2

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0)

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 nên ta có

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với x0 = -1 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2 (loại).

Với x0 = -3 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14 (thỏa mãn)

Ví dụ 2. Cho hàm số y =x4+ 2x2+ 1 có đồ thị ( C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?

A. y= - 6x         B. y= 8x         C. y= - 10x         D. y= 12x

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 4x3+ 4x

+ Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm có hoành độ là 1.

+ ta có; y’(1)= 8 và y(1)=4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C) tại điểm có hoành độ là 1 là:

y- 4= 8( x- 1) hay y= 8x- 4

⇒ Đường thẳng d song song với đường thẳng y= 8x

Chọn B.

Ví dụ 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=( x- 1)2( x- 2) tại điểm có hoành độ x= 2 là

A. y= - 2x- 1         B. y= x+ 1         C. y= 3x+ 1         D. y= x- 2

Hướng dẫn giải

+Gọi M(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.

Từ x0=2 ⇒ y0= 0

+ Ta có : y= (x-1)2( x-2)= ( x2-2x+ 1) ( x- 2)

Hay y= x3- 4x2+ 5x- 2

⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y’= 3x2- 8x + 5

⇒ y’(2)= 1

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2

chọn D.

Ví dụ 4. Cho hàm số y= (x-2)/(2x+1). Phương trình tiếp tuyến tại A( -1; 3) là

A. y= 5x+ 8         B. y= - 2x+3         C. y= 3x+ 7         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm - Toán lớp 11

Ví dụ 5: Cho hàm số y=1/3 x3+x2-2 có đồ thị hàm sô (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y"=0 là

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ta có y'=x2 +2x và y''=2x+2

Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình

⇔2x+2=0⇔x0=-1

Và y’(-1)=-1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(-1;-4/3)là: y= -1.(x+1)- 4/3

Hay y=-x-7/3

Chọn A.

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng đây là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm chuyên đề phương trình mặt cầu tại đường link này nữa bạn nhé !

Tags: