Cập nhật bảng công thức Logarit, công thức mũ đầy đủ, chi tiết

Minh Vũ 8 giờ trước

Bài viết hôm nay, Zicxabooks.com sẽ cập nhật bảng công thức Logarit, công thức mũ đầy đủ, chi tiết nhất và cách ứng dụng công thức vào bài tập cho bạn làm tư liệu cần thiết để giải các bài toán. Bộ tài liệu này sẽ giúp bạn củng cố công thức logarit, đạo hàm logarit, ...giúp bạn dạy và học tốt hơn. Cùng tìm hiểu bạn nhé !

I. ĐỊNH NGHĨA LOGARIT 

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logb. Ta viết: α = logb = a ⇔ aα = b

Các tính chất: Cho a, b > 0, a ≠ 1, ta có:

loga = 1, log1 = 0

, log(aα)=α

1. Logarit của một tích

Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có

log(b1b2) = logb1 + logb2

Logarit của một thương: Cho 3 số a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có

Đặc biệt: với a, b > 0, a ≠ 1, 

2. Logarit của lũy thừa

Cho a, b > 0, a ≠ 1, với mọi α, ta có

logbα = α logb

Đặc biệt: 

3. Công thức đổi cơ số

Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 ta có:

Đặc biệt:  và  với α ≠ 0

4. Logarit thập phân và Logarit tự nhiên

Logarit thập phân là logarit cơ số 10. Viết : log10 b = log b = lg b

Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Viết : loge b = ln b

II. BẢNG CÔNG THỨC LOGARIT ĐẦY ĐỦ, CHI TIẾT NHẤT

Sau đây, chúng tôi sẽ giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn bảng công thức Logarit đầy đủ nhất từ cơ bản đến mở rộng để bạn làm tư liệu nhé !

1. Bảng công thức Logarit đầy đủ, cơ bản

Với x,y>0

{{\log }_{a}}1=0,{{\log }_{a}}a=1 \begin{align}

 & {{\log }_{{{m}^{\alpha }}}}x=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{m}}x \\

& {{\log }_{{{m}^{\alpha }}}}{{x}^{\beta }}=\frac{\beta }{\alpha }{{\log }_{m}}x \\

\end{align}
{{\log }_{a}}\left( \frac{x}{y} \right)=-{{\log }_{a}}\left( \frac{y}{x} \right) {{\log }_{a}}\left( x.y \right)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y
{{\log }_{a}}{{a}^{m}}=m \lg a=\log a={{\log }_{10}}a
\begin{align}

 & {{\log }_{a}}{{x}^{\beta }}=\beta {{\log }_{a}}x \\

 & {{\log }_{a}}{{x}^{2}}=2{{\log }_{a}}\left| x \right| \\

 \end{align} \begin{align}

& {{\log }_{a}}\left( \frac{x}{y} \right)={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y \\
 & {{\log }_{a}}\left( \frac{1}{y} \right)=-{{\log }_{a}}y \\

 \end{align}
{{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b \ln a={{\log }_{e}},e=2,718...

2. Công thức đạo hàm Logarit

Đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm hàm hợp
\left( {{x}^{\alpha }} \right)'=\alpha .{{x}^{\alpha -1}} \left( {{u}^{\alpha }} \right)'=\alpha .{{u}^{\alpha -1}}.u'
\left( {{e}^{x}} \right)'={{e}^{x}} \left( {{e}^{u}} \right)'={{e}^{u}}.u'
\left( {{a}^{x}} \right)'={{a}^{x}}.\ln a \left( {{a}^{u}} \right)'={{a}^{u}}.u'.\ln u
\left( \ln x \right)'=\frac{1}{x} \left( \ln u \right)'=\frac{u'}{u}
\left( {{\log }_{a}}x \right)'=\frac{1}{x.\ln a} \left( {{\log }_{a}}u \right)'=\frac{u'}{u.\ln a}

3. Công thức Logarit Nepe

\ln a={{\log }_{e}}a,e=2,718... \left( \ln x \right)'=\frac{1}{x}
\left( {{a}^{x}} \right)'={{a}^{x}}.\ln a \left( {{a}^{u}} \right)'={{a}^{u}}.u'.\ln u
\left( \ln x \right)'=\frac{1}{x} \left( \ln u \right)'=\frac{u'}{u}

4. Công thức mũ Logarit

{{a}^{n}}=\underbrace{a.a.a....a}_{n} {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}=\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}
{{a}^{0}}=1,\forall a\ne 0 {{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m.n}}={{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}
{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}} \sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}={{a}^{\frac{m}{n}}}
{{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}} \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}
\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}} {{a}^{\frac{-m}{n}}}=\frac{1}{{{a}^{\frac{m}{n}}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{{{a}^{m}}}}
{{\left( a.b \right)}^{n}}={{a}^{n}}.{{b}^{n}} \sqrt[n]{{{a}^{m}}}=\left\{ \begin{matrix}

a,n=2k+1 \\

\left| a \right|,n=2k \\

\end{matrix} \right.

III. CÁCH SỬ DỤNG BẢNG LOGARIT

Với bảng logarit, bạn sẽ tính toán nhanh hơn rất nhiều so với máy tính, đặc biệt khi muốn tính toán nhanh hoặc nhân số lớn, sử dụng logarit thuận tiện hơn cả.

1. Cách tìm Logarit nhanh

Để tìm logarit nhanh, bạn cần chú ý các thông tin sau đây:

2. Cách tìm Logarit nâng cao

Muốn giải những phương trình logarit nâng cao, bạn cần lưu ý những điều sau đây:

IV. MẸO NHỚ NHANH CÁC CÔNG THỨC LOGARIT

Để nắm chắc kiến thức liên quan đến Logarit, các bạn có thể áp dụng 6 phương pháp sau đây:

V. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC LOGARIT GIẢI BÀI TẬP

Bạn có thể ứng dụng công thức Logarit để giải các dạng toán sau đây:

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit

Ghi nhớ

Biểu thức loga f(x) xác định 

Chú ý rằng: Khi giải bất phương trình An > 0 cần nhớ:

n  là số tự nhiên lẻ thì An > 0 ⇔ A > 0.

Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức B = ln (4 – x2) xác định?

A x ∈ [-2; 2]

B x ∈ (-2; 2)

C x ∈ ℝ \ [-2; 2]

D x ∈ ℝ \ (-2; 2)

Lời giải

Chọn B

Điều kiện xác định: 4 – x2 > 0 ⇔ -2 < x < 2

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

A x ∈ (2; +∞)

B x ∈ [0; +∞)

C x ∈ [0; +∞) \ {2}

D x ∈ (0; +∞) \ {2}

Lời giải

Chọn C

Biểu thức A xác định 

Vậy x ∈ [0; +∞) \ {2}

Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

B x ∈ (0; 2)

 \ {1}

Lời giải

Chọn D

Biểu thức D xác định 

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức logarit

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức  (a > 0, a ≠ 1, b > 0) ta được

A P = a3b-2

B P = a3b

C P = a2b3

D P = ab2

Lời giải

Chọn A

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a = 2, b = 5 ta được  và thay a = 2, b = 5 vào 4 đáp án để so sánh.

Ví dụ 2: Giá trị của biểu thức  nằm trong khoảng nào sau đây?

A (2; 5)

B (0;1)

C (1; 3)

D (2; 3)

Lời giải

Chọn A

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a = 2 . Tính  và thay a = 2 vào 4 đáp án để so sánh.

Ví dụ 3: Cho a = log25. Ta phân tích được  (m, n, k ∈ ℤ). Tính m2 + n2 + k2?

A 13

B 10

C 22

D 14

Lời giải

Chọn C

Ta có: 

⇒ m = n = 3,  k = 2 ⇒ m2 + n2 + k2 = 22

Dạng 3: Biểu diễn logarit theo các logarit đã biết

Ghi nhớ

Để giải quyết bài toán biểu diễn logarit theo các logarit đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách:

Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit.

Cách 2: Sử dụng MTCT.

Bài toán minh hoạ: Cho log23 = a, log25 = b. Biểu diễn log320 theo a, b .

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit

Ta có: log320 = log3(22․5) = 2 log32 + log35

Cách 2: Sử dụng MTCT (Casio 570 hoặc Vinacal)

Bước 1: (Gán 3 giá trị log23 và log2  vào các biến A, B và C trong máy tính)

Bước 2: (Thử đáp án)

Ví dụ: Giả sử đặt log126 = a, log127 = b. Hãy biểu diễn log27 theo a và b.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có 

Vậy 

Cách 2: Ta có 

Vậy là các bạn vừa được chia sẻ bảng công thức Logarit, công thức mũ đầy đủ, chi tiết cùng nhiều thông tin hữu ích khác. Hi vọng, bài viết đã cung cấp cho bạn thêm nguồn tư liệu thiết yếu phục vụ quá trình dạy và học tốt hơn. Xem thêm các công thức biến đổi lượng giác nữa bạn nhé !

Tags: